解析新GRE數(shù)學(xué)正態(tài)分布題型

 正態(tài)分布題

 1. 先給出基本概念：

　1.1正態(tài)分布，又稱高斯分布，指變量的頻數(shù)或頻率呈中間最多，兩端逐漸對(duì)稱地減少，表現(xiàn)為鐘形的一種概率分布。它是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，也是自然界最常見(jiàn)的一種分布。一般說(shuō)來(lái)，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布。

　1.2若隨機(jī)變量X服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ(本題中等于均值a)、標(biāo)準(zhǔn)方差為 的高斯分布，記為：X∽ N(a， 2)，則其概率密度函數(shù)為：

　正態(tài)分布的均值a決定了其位置，其標(biāo)準(zhǔn)差σ決定了分布的幅度。曲線關(guān)于x=a的虛線對(duì)稱， 決定了曲線的“胖瘦”，因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線，如圖所示：

　1.3高斯型隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)，是將其密度函數(shù)取積分，即其中，表示隨機(jī)變量A的取值小于等于x的概率。如A的取值小于等于均值a的概率是50%。

　1.4通常所說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是μ = 0，σ = 1的正態(tài)分布，即令圖1中的曲線a=0， ， 就得到了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，曲線如圖。

　對(duì)于一般的正態(tài)分布，可以通過(guò)變換，歸一化到標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，算法為：

　設(shè)原正態(tài)分布的期望為a，標(biāo)準(zhǔn)方差為 ，欲求分布在區(qū)間(y1， y2)的概率，可以變換為求圖3中分布在(x1， x2)間的概率。其中x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：

　例如，若一正態(tài)分布a=9， 區(qū)間為(5， 11)，則區(qū)間歸一化后得到(-2，1)，即通過(guò)這種歸一化方法就可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的方法判斷結(jié)果。

　2. 本次考試中正態(tài)分布題的解法：

　有一射擊隊(duì)，人數(shù)600人，對(duì)其射擊結(jié)果打分，結(jié)果服從正態(tài)分布，得到算數(shù)平均分為84分，標(biāo)準(zhǔn)方差為5，假定分?jǐn)?shù)大于90分的概率為k%; 另一射擊隊(duì)，人數(shù)400人，對(duì)其射擊結(jié)果打分，結(jié)果服從正態(tài)分布，得到算數(shù)平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)方差為3，假定分?jǐn)?shù)大于86分的概率為n%; 問(wèn)k和n誰(shuí)大?

　解：第一組X∽ N(84，25);第二組Y∽ N(80，9)。

　現(xiàn)在，比較k和 n，即比較k% = P(A>90)和 n% = P(B> 86)的大小。

　歸一化以后，

　P(A>90)=P標(biāo)準(zhǔn)(A>(90-84)/5)= P標(biāo)準(zhǔn)(A>6/5);

　P(B>86)=P標(biāo)準(zhǔn)(A>(86-80)/3)= P標(biāo)準(zhǔn)(A>6/3);

　上述概率大小為 圖4中陰影部分的面積，所以最后k 大于 n.

　以上是新GRE數(shù)學(xué)考試正態(tài)分布題型的介紹，希望給大家備考有所幫助。新GRE數(shù)學(xué)考試并不難，希望大家能夠認(rèn)真?zhèn)淇?，沖刺滿分!